이상봉님의 글
------------------------------------
안녕하세요.

다름이 아니오라

제가 모르는 문제라 여기에 한번 올립니다.

a^n + b^n = c^n ,n>2

이것을 만족하는 자연수로 이루어진 a,b,c를 구하는 방법

아님 n=3일때 만이라도...

혹시 수학에 자신 있는 분이 계시면 도와주세요.

---------------- [답 변] ---------------------

페르마의 마지막 정리에 대한 질문이군요.

n이 3보다 크거나 같을 때 위의 식을 만족하는 자연수는 없다는 것이 페르마의 정리입니다.

이의 증명을 위해 수많은 수학자들이 덤벼들었지만 실패를 했습니다.
결국 1995년에 앤드류 와일즈(Andrew Wiles)라는 수학자가 증명에 성공을 했습니다. 수학자들도 이해하기 힘든 몇십페이지에 해당하는 수식을 나열한 후에야 결론에 도달 했죠.
(몇년전에 국내 초등학생이 증명했다고 언론에서 호들갑을 벌인적이 있지만 말도안되는 이야기 였습니다.)

이에대해 시중서점에 페르마의 정리를 증명하기까지의 과정을 흥미있게 기술해 놓은 번역서가 있습니다. 제목은 지금 생각이 나지 않습니다. 서점에서 서서 읽있던 책이라...

인터넷 검색엔진에서 "페르마정리"를 키워드로 사용해서 검색하면 페르마 정리가 무었인지에 대해 대략의 정보를 쉽게 찾을 수 있습니다.

그럼

이상봉님의 글
------------------------------------
안녕하세요.

다름이 아니오라

제가 모르는 문제라 여기에 한번 올립니다.

a^n + b^n = c^n ,n>2

이것을 만족하는 자연수로 이루어진 a,b,c를 구하는 방법

아님 n=3일때 만이라도...

혹시 수학에 자신 있는 분이 계시면 도와주세요.

---------------- [답 변] ---------------------
안녕하십니까?

질문하신 분이 모르는 문제가 아니라 대부분의 수학자가 증명하지 못한 문제입니다.

즉, "페르마의 마지막 정리"문제를 질문하셨습니다. 결론적으로 없습니다.

물론 복소수를 포함하면 이야기가 조금 달라지겠요.

이문제를 왜 풀려고 하시는지요? 조금 궁금하군요.

다음을 참조하시고 관련 서적을 찾아보시기 바랍니다. 인터넷에서 이것에 관한 내용이 상당히 많이 있으니 한번 서치해보십시오.

페르마의 마지막 정리란?

우리는 익히 피타고라스의 정리를 알고 있습니다. 직각삼각형의 밑변의 제곱과 높이의 제곱의 합은 빗변 제곱의 합과 같다는 것입니다. a = 밑변, b = 높이, c = 빗변이라고 한다면 a^2 + b^2 = c^2 이 성립한다는 것은 상식으로 널리 알려진 사실입니다. 그리고 이것을 만족하는 정수해는 여럿이 존재합니다. 가령 a = 3, b = 4, c = 5 일때 a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 = c^2 임을 알 수 있습니다. 그 다음 생각해 볼수 있는 정수해는 5, 12, 13 이 있습니다. 그 다음 것은 99, 4900, 4901이 있다고 합니다.(한번 계산기를 두들겨 보시길….

이때 수학자들로서는 아주 자연스러운 질문이 하나 생기게 됩니다. a^3 + b^3 = c^3을 만족하는 정수해 a, b, c가 존재하는가 하는 것이 그것입니다. 이 때의 정수해라 함은 이중 하나가 0이 되는 단순해(trivial solution)을 제외한 것을 말합니다. 또한 수학자들은 일반화하는 것을 좋아하므로 일반적인 자연수 n에 대해 a^n + b^n = c^n이 되는 정수 a, b, c가 존재하는가 하는 것도 흥미진진한 문제가 됩니다.

페르마의 마지막 정리란 "3과 같거나 큰 자연수 n에 대해 a^n + b^n = c^n 를 만족하는 정수 a, b, c가 존재하지 않는다"라는 것입니다. 즉 우리가 알고 있는 피타고라스 정리를 벗어난 정수해는 존재하지 않는다는 것이죠. 그런데 골때리는 건 페르마가 이것을 증명하지 않고 죽었다는 것입니다. 아주 유명한 말을 남겼죠.

Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quaratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi banc marginis exiguitas non caperet.

임의의 세제곱수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될수 없다. 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될수 없다. 일반적으로 3이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 경이적인 방법으로 이 정리를 증명했다. 그러나 이책의 여백이 너무 좁아 여기 옮기지는 않겠다.

페르마의 마지막 정리라는 것이 유명해진 이유는 여기에 있습니다. 정리는 있는데, 증명이 없으니... 더구나 350여년 동안 풀리지 못한 어려운 문제이기도 하구요. (사실 유명해 진데에는 상금이 걸려있었다는 이유도 있지요.) 엄밀하게 말하면 이것은 정리(theorem)이 아니고 추론(conjecture)이죠. ^^;;

왜 마지막 정리인가?

위의 정리가 왜 마지막 정리인가? 사실 페르마는 직업적인 수학자가 아니었습니다. 그는 시의회 의원이었는데, 그의 주된 업무는 서민들의 이야기를 국왕에게 전하고 국왕의 포고령을 전국각지에 분명하게 전달하고 그것이 정상적으로 이행되도록 감독하는 일이었다고 합니다.(후에 사법관활동도 했다고 합니다.) 그는 소일거리 삼을 만한 취미활동으로 수학을 선택했는데, 그럼에도 불구하고 수학적 재능은 대단한 것이었습니다. 그는 고대 그리스 시대부터 내려오는 <아리스메티카>라는 책을 끼고 살다시피 했습니다. 그는 후학을 양성한것도 아니었도 문제의 풀이나 증명을 체계적으로 정리해 놓은 것도 아니었기 때문에 그가 직접 남긴 책은 없습니다. 페르마가 죽은 뒤에 그의 아들은 페르마가 남긴 낙서와 편지들, 그리고 <아리스메티카> 여백에 휘갈겨 쓴 주석들을 수집하여 <페르마의 주석이 달린 디오판토스의 아리스메티카>라는 제목으로 책을 출판하게 됩니다. 그러나 안타깝게도 거기에는 문제들에 대한 증명과정이 전혀 언급되지 않거나 실낱같은 힌트만이 간략하게 적혀 있을 뿐이었습니다. 그러나, 이 감질나는 주석만으로도 그가 모든 정리를 완벽하게 증명했음을 (수학자들은) 알수 있었고, 페르마는 전세계의 수학자들에게 자신이 이미 증명한 수학정리를 시험문제처럼 던져놓고 간 것이었습니다. 시간은 흐르면서 페르마의 정리들은 다른 수학자들의 손에 의해 거의 다 증명이 되었습니다. 그러나, 그 <마지막 정리> 만이 350여년동안 증명이 되지 못한채로 남아있게 된 것입니다.

누가 증명했나?

페르마 자신이 n=4인 경우를 증명해 놓았는데, 이것은 제대로 된 증명이라기 보다는 자신이 보던 <아리스메티카> 책의 한 귀퉁이에 주석의 형태로 휘갈겨져 있어서 한동안 발견되지 않았습니다. 이 증명방법의 개략을 살펴보면 만일 x^4+y^4=z^4인 x, y, z가 존재한다면 이보다 작은 값을 갖는 다른 정수해 a, b, c가 존재해야 한다는 것입니다. 그런데, 여기서 반복적으로 a, b, c보다 작은 정수해가 또 존재하게 되고, 이것은 무한히 반복되게 됩니다. 그런데 무한히 작은 정수해란 존재할 수 없으므로 모순이 되죠. 따라서 x^4 + y^4 = z^4가 되는 정수해 x, y, z는 존재하지 않습니다.
후에 오일러가 허수의 개념을 도입하여 n=3인 경우에 <페르마의 정리>를 증명하였습니다. 그후 디리클레와 르장드르는 각자 개인적으로 n=5인 경우를 증명했고 라메가 n=7인 경우를 증명했습니다. 그러나, 이러한 것들은 <페르마의 정리>를 증명한 것은 못됩니다.
<페르마의 마지막 정리>가 풀리지 못한 채 시간이 흐르자 사람들은 그것에 대해 도전하는 것을 꺼리게 됩니다. 만일 답이 존재 하지 않는 것이라면(즉, 페르마의 마지막 정리가 거짓이라면) 그것 역시 증명이 되어야만 하는 것임에도 불구하고, 그것 역시 이루어 지지 않고 있었습니다.
그러던중 1950년대에 타니야마와 시무라라는 일본인은 타원 방정식의 E-급수와 모듈형태의 M-급수가 완전하게 일치한다는 주장을 하였습니다.(그게 뭔지는 저도 모릅니다.) 이것은 수학의 전혀 다른 두분야를 연결 시켜주는 다리와 같은 역할을 하는 증명이 된다면 아주 획기적인 것이었습니다. 하지만 이것을 뒷받침 할만한 몇가지 근거가 나타나기는 했지만 완전한 증명은 되지 않았습니다. 그 뒤로 이것은 타니야마-시무라의 추론으로 불리게 됩니다.

1980년대에 들어 게르하르트 프레이라는 수학자는 아주 놀랄만한 주장을 하게 됩니다. 그것은 "<페르마의 마지막 정리>가 틀렸다면 타니야마-시무라의 추론 역시 틀린것이다."라는 것입니다. 이것의 대우명제는 "타니야마-시무라의 추론이 맞다면 <페르마의 마지막 정리>도 참이다."가 되므로 타니야마-시무라의 추론이 증명되면 <페르마의 정리> 역시 자동으로 증명되는 셈이 됩니다.(후에 프레이의 주장하는 "방법"에 문제가 있다는 것이 발견되지만 타니야마 시무라의 추론과 <페르마의 마지막 정리> 운명을 같이 한다는 점은 변함이 없습니다.)
페르마의 마지막 정리가 증명된 것은 아주 최근의 일입니다. 1995년에 앤드류 와일즈(Andrew Wiles)라는 프린스턴 대학의 수학자가 증명을 해냈습니다. 그는 타니야마-시무라의 추론을 증명함으로써 페르마의 마지막 정리를 증명해내게 됩니다.(후에 그의 증명법에도 문제가 발생하지만 그가 그 문제를 수습하게 됩니다.) 그리고 <페르마의 마지막 정리> 상금이 걸려 있던 <볼프스켈 상>을 수상하게 됩니다.
출처 :포항공대 수학과 종국씨의 홈페이지에서..