답변 감사 드립니다...

제가 넘 어렵겠 생각하구 있었군여..

너무나두 정성어린 답변에 감사드리면서,

더 열심히 공부해야 겠다는 생각이 듭니다.

저두 누구에게 이렇게 설명할수 있을 정도로 ^^;;;

감사합니다.

한성욱님의 글
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답변 잘 보았습니다.
편미분은 산정상에 서있는 사람의 비유로 이해는 하고 있습니다.
죄송하지만 제가 정말로 알고자 하는 부분은.
상미분이란 용어입니다.
편미분을 이해하고 있는 상황에서
상미분방정식이란 방정식이
편미분과 다른점이 어떤 것인지를 다시한번 부탁드립니다.
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이번에 새롭게 추가된 Q&A에서 수식 입력 기능을 이용할 좋은 기회군요..
상미분,편미분과 상미분방정식,편미분방정식은 다르겠죠?
너무 어렵게 생각하고 계신것 같습니다.

상미분방정식,편미분방정식 사실 모두 같은 말입니다. 편미분 방정식은 미분방정식에 편미분(Partial derivative)가 있으면 편미분 방정식이라고 말하기 때문입니다. 이 편미분 방정식은 물리적현상,공학관련되어 상당히 중요하죠 이유는 거의 모든 물리적 현상을 미분방정식으로 표현할 경우 편미분 방정식이 됩니다.
일례로 유체역학에서 전단응력이 어떻게 정의되나요.
tau sub xy = mu{{partial u} over{ partial y}} 여기서 u는 x 방향의 유속이며 x,y,z,t의 함수가 됩니다. 여기서 (mu)는 점성계수가 되며, 전단 응력 자체의 물리적 의미를 수학적 수식으로 표현 할때 유동의 수직 방향으로의 변형률로 정의 되기 때문에 편미분으로 표현되야 하지요.
아시는 바와 같은 편미분은 분모에서 사용된 변수에 대해서만 미분을 취하고 나머지 변수는 상수로 취급됩니다.
상미분으로는 정의가 되지 않으며 어떤 물리적 의미도 없습니다.

결국 상미분 방정식은 하나의 변수로 물리적인 함수가 정의될때 사용될 뿐입니다.
일례로 진동의 경우 운동 방정식은 오직 시간에 대한 함수로 표현되기 때문에 전형적인 상미분 방정식이 됩니다.
m{{d^2 x} over dt^2} + c{dx over dt} + kx= f(t)

한성욱님의 글
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현재 학생입니다...

시스템 다이나 믹스라는 책을 보던중 상미분 방정식이란 용어를 보았죠..
그런데 예전에 공업수학에서 편미분을 배웠습니다..

시간에 대한 개념에서 생각하다가
머리속에 그려져야할 개념이 좀 어려웠습니다.

상미분 방정식과 편미분 방정식의 차이점은 무었인지요.

각각이 어떤 상태를 분석할때 쓰이는지,
물리적, 수학적 차이점등등을 부탁드립니다..
감사합니다. 꾸벅~~
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편미분에 개념에대해 어려움을 느끼시는 것 같군요.
저도 오랜만에 보니 책을좀 봐야겠군요..
물리적의미는 다음과 같습니다.

y=f(x)와 같이 1변수함수에서는 x-y좌표 즉 평면상에 그래프를 그릴수 있고 그 그래프 상의 임의의 점 x=a 에서의 기울기는 하나이지요.(물론 이때 그점에서의 미분이 가능하여 특이점이 없을때)

그런데 z=f(x,y)와 같은 2변수(x,y)함수를 생각해보세요.
이함수는 x-y-z좌표 즉, 공간상에서 임의의 곡면을 갖는 형태를 나타냅니다.
여기서 x=a,y=b인 점에서의 기울기는 x축 방향,y축 방향, 즉 2좌표방향의 기울기가 정의 되며 각각은 x에 대한 편미분,y에 대한 편미분으로 구할 수 있습니다.
편도함수(partial derivative)를 먼저 이해해 보세요.
도움이 되시길..

안녕하십니까?

대답이 될지 모르겠으나 두방정식의 간단한 차이점과 물리적의미를 말씀드리겠습니다.

1. 편미분방정식

편미분방정식은 변수가 2개이상인 함수에대한 변화를 나타내는데 대표적인것은 파동방정식, 열전도방정식, 라플라스방정식이 있으며 풀이는 보통 변수분리법과 적분변환(Laplace Trnasform)을 이용해서 풉니다.

이때 초기조건(Initial condition: t=0)과 경계조건(Boundary condition : x=0 or x=L에서의 조건)이 보통 주어집니다.

이제 편미분방정식의 예를 들겠습니다.

1차원 편미분 방정식은 파동방정식 즉, 바이올린등과 같은 현의 진동과 막대속의 탄성파, 음파등을 나타내거나 보(beam)의 종진동 , 보의 비틀림진동, 보의 횡진동 등을 나타내는 데 사용합니다.
간단히 설명하면 위의 모든 식은 공간좌표 x와 시간변수 t의 독립변수(Independent variable)로 기술되는 종속변수(dependent variable) u의 표현으로 설명됩니다.
이때 위치와 시간에따른 운동을 기술하는 변수 u(x,t)는 x와 t의 2변수 함수가 됩니다. 이를 기술하는 지배방정식은 편미분 방정식이됩니다.

2차원 편미분 방정식인 파동방정식은 박막의 진동을 나타내며 드럼,북과 같은 타악기의 진동과 마이크로폰등의 진동 등을 기술합니다.
이용되며 특징은 2차원을 나타내는 변수 x,y와 시간 t를 사용해서 u(x,y,t)로 표현됩니다. 마찬가지로 3차원 파동방정식은 `부피`를 가진 물체의 진동을 u(x,y,z,t)로 나타냅니다.

1차원 열전도방정식은 열전달(Heat transfer)에서 배우시겠지만 막대속의 열의 전도(conduction)를 나타내고, 2차원 열전도 방정식은 박막의 열전도를 나타냅니다. 물론 3차원 열전도 방정식은 부피를 지닌물체의 열의 전도를 나타냅니다. 이는 물질의 확산(Diffusion)에서도 사용되며 열처리특성을 기술할때 사용될수 있습니다. 모두 편미분 방정식입니다.

열전도방정식에서 평형생태(정상상태, 즉 시스템이 시간에따라 변화를 하지않는 상태)를 기술할때 라플라스 방정식이 됩니다. 라플라스 방정식은 중력의 퍼텐셜이나, 유체역학의 유동장, 정전 퍼텐셜등의 장(field)를 지배하는 편미분 방정식이며 특성은 정상상태(steady state)라는 것입니다.

결국 편미분 방정식은 우리가 사는 세상(4차원 시공간: x,y,z,t로 기술되는 세상)에서 일어나는 `자연현상의 변화`를 순간적인 미분방정식으로 기술하는 것입니다. 즉 유체역학, 열전달, 진동학등의 움직임(motion)을 기술하는 학문은 자연현상을 지배하는 방정식을 편미분방정식으로 기술하고 독립변수(x,y,z,t)에 각종 제한(Constraints)을 주어(예를 들면, 초기조건(t), 경계조건(x,y,z), 정상상태 등)미분방정식을 푸는 것입니다.

이것을 이해하셨다면 상미분 방정식은 아주 간단합니다.

2. 상미분 방정식

편미분 방정식의 풀이에 `변수분리법`이 있습니다. 즉 공간좌표(x,y,z)와 시간좌표(t)를 변수분리해서 푸는 방법입니다. 이 변수 분리에의해서 미분방정식은 각각의 상미분 방정식이 됩니다. 즉, 상미분 방정식은 단일변수에(시간 이나 공간좌표) 따른 물리량을 기술하는데 사용됩니다.

예를 들면서 설명하겠습니다.

이제 보의 종진동을 기술해봅시다.

보의 종진동은 위에서 설명드렸 듯이 분명 `1차원 편미분 방정식`입니다. 종진동 변위를(축방향변위) u 라하고 지배 방정식을 u(x,t)의 편미분 방정식으로 나타낼 수 있습니다. (식을 푸는것은 생략합니다.)

자, 이제 modelling을 사용해서 보의 등가질량(Meq), 등가강성(Keq), 등가감쇄(Ceq)를 사용해서 보를 표현해봅시다.

이때 보는 차원(Dimension)을 지니지 않는 spring-mass-damper로 구성할수 있습니다. 이때 운동을 기술하는 식은 바로 시간(t)면 족하게 됩니다.

이방정식은 편미분 방정식입니까?

아니지요! 시간에대한 상미분이 됩니다.

자연현상을 그대로 기술하는 것은 모두 `편미분 방정식`입니다.
이를 모델링을 통해 `관심`부분으로 변수를 한정하면 바로 상미분 방정식으로 전환됩니다. 주로 시간에 따른 거동을 보는 것이 일반적입니다.

옛날 컴퓨터가 없는 시대에 미분방정식을 손으로 푸는 것은 거의 불가능 했을 것입니다. 그러므로 모델링을 통해 변수를 압축하고 주요관심 부분의 거동을 보고자 했습니다. 그래서 `상미분방정식`이 일반적인 미분방정식이 된 것입니다.

4차원 편미분방정식을 손으로 계산하는 것은 몇가지 경우를 제외하고는 거의 불가능합니다. 더욱이 형상이 복잡한 시스템을 기술하는 편미분 방정식을 푸는 것은 더 그렇겠지요.

우리가 흔히 말하는 FEM(유한요소법)의 경우도 결국은 시스템을 지배하는 편미분방정식을 푸는 것입니다. 이때는 Fuctional이라는 중요한 개념이 나오는데 간략히 설명하면 편미분방정식의 적분형태로 기술되는 방정식을 풀기위해 변분이론을 도입하는 것입니다. 상당히 어려운 개념이므로 설명은 생략합니다.
저 역시 기억이 가물가물하거든요.

도움이 되었으면 합니다.

감사합니다.

답변 잘 보았습니다.
편미분은 산정상에 서있는 사람의 비유로 이해는 하고 있습니다.

죄송하지만 제가 정말로 알고자 하는 부분은.

상미분이란 용어입니다.

편미분을 이해하고 있는 상황에서
상미분방정식이란 방정식이
편미분과 다른점이 어떤 것인지를 다시한번 부탁드립니다.

감사합니다.