한성욱님의 글
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기계공학을 공부하는 학생입니다.

정역학, 고체역학등에서 관성 모멘트라는 말을 많이 듣습니다.
그런데 단면 모양에 따라서의 공식을 암기하고 있고,
평행축 정리도 공부하였습니다.

그런데 도대체 관성 모멘트라고 하는 것이 무언지
너무 추상적이기만 합니다..

전자에서 질량을 의미하는 것은 ...(무엇)이고,
물질에서 질량을 의미하는 것이 관성모멘트이다. 이런식의 말도
들어 보았습니다만,

도대체 관성모멘트란 것이 왜 만들어 졌으며,
그 의미가 무엇인지 명쾌한 대답을 제발 부탁드립니다.
감사합니다.

----------------- [답 변] -------------------

좋은 질문입니다.

먼저 용어에 대한 설명을 드리면

관성이라 함은 아시는 바와 같이 질량의 개념입니다.

고전 물리에서 임의의 질량을 갖는 물체가 외부의 힘이 가해지지 않는한 속도가 변하지
않는다는 것을 의미합니다.

그러면 모멘트라는 것은 무얼까요?

모멘트라는 개념은 (거리 x 특정물리량)을 의미합니다.

벡터에서는 r x F 로 표현되고 관성모멘트는  ∫(r²)dm 으로 정의되고
면적 모멘트는 ∫(r²)dA으로 정의됩니다.

여기서 적분식에  거리의 2승이 되기 때문에 정확한 용어는 2차관성모멘트,
2차면적모멘트(재료역학에서 나오죠)라고 합니다.

따라서 모멘트라는 단어가 들어가면 거리와 특정 물리량의 곱이라는 개념을 상기하셔야
합니다.

그러면 관성과 관성모멘트라는 개념은 왜 나왔을 까요?

동력학에서 운동이라함은 직선운동과 회전운동 두가지로 구분됩니다.

이 두가지 운동의 특성을 설명하는 중요한 변수는 직선 운동의 경우 v가 되며 회전
운동의 경우 각속도 ω가 됩니다.

이들 관계는 잘 알다시피 v = rω가 됩니다.

결국 물리학자나 수학자나 수식에서 운동의 형태를 암시하는 이 두변수를 표현식에
사용함으로서 물체의 운동을 묘사하려고 하며 동시에 수식은 동일한 형태를 유지하고
싶어합니다.

예를 들어 질량 m인 물체가 직선 운동을 할 경우 운동에너지는 ½mv²이되며
물체가 회전 운동을 할 경우 회전운동에너지는  ½Jω² , J(관성모멘트)=r²m이됩니다.
 결국 수학적 식만 볼 때 (m=J,v=ω)인 셈이죠.

이해를 돕기 위해 아래의 경우를 계산해 보겠습니다.

원판이 원판 중심을 기점으로 회전하는 경우 운동에너지를 계산을 전개해보면 다음과
같습니다.

먼저 중심에서 거리 r 만큼 떨어져 있는 곳의 얇은 띠의 미소 질량의 운동에너지는

dE = ½(dm)v² 이 됩니다. 원판의 두께를 t, 원판의 밀도를 ρ라 하면

v=rω,

dm=d(ρV)=d(ρtA)=ρtd(A)=ρt(2πrdr)=2πρt(rdr)이 되기 때문에 위식은

dE = ½(2πρt(rdr))(rω)² 이 됩니다.

정리하면

dE = πρtω²r³dr

양분을 적분하면

E = ¼πρtω²R⁴ (R은 원판의 외경)

   = ¼(πR²ρt)R²ω²

   = ¼(M)R²ω² 이 됩니다. 여기서
M은 원판의 총 질량이 되겠죠.

최종적으로 원판의 운동에너지가 ¼(M)R²ω² 가 됩니다.


이것을  ½Jω² 로 표현하고 J = ½MR² 이라고 표현하면
어떨까요.

(책을 찾아보시면 원판의 관성모멘트는 J = ½MR² 라고 되어 있을 것입니다)

이렇게 관성모멘트 J라는 개념을 도입하면 회전체에 대한 간단한 표현식을 얻을 수
있습니다.

이것이 관성모멘트라는 개념이 생긴 이유입니다.

그리고 관성모멘트는 외울 필요가 없습니다. 많이 사용하는 것은 외우고 싶지 않아도
외어지고 필요할 때 책에서 찾아보면 그만입니다. 개념을 정확히 알고 있는 것 이것이
가장 중요합니다.

* 아휴~~~ 옆에서 설명하면 금방인데